চিত্রটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স হলে কোনটি সঠিক?

ভেক্টর ক্যালকুলাসের মৌলিক অভেদাবলী (fundamental identities of vector calculus) সম্পর্কিত প্রশ্ন এটি। প্রদত্ত অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:

    
1.         

   অপশন ১: \(\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} = ০\)

           

   এই অভিব্যক্তিটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভেক্টর অভেদের (vector identity) সংক্ষিপ্ত বা প্রতীকী (symbolic) রূপ। এটি দ্বারা বোঝানো হয় যে একটি স্কেলার ক্ষেত্রের (scalar field) গ্রেডিয়েন্টের কার্ল (curl of a gradient) সর্বদা শূন্য ভেক্টর হয়। গাণিতিকভাবে এটি লেখা হয়: \(\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \phi) = \vec{0}\), যেখানে \(\phi\) একটি স্কেলার ক্ষেত্র।

           

   আমরা এই অভেদটি প্রমাণ করতে পারি:

           

   ডেল অপারেটর (del operator) \(\vec{\nabla}\) কে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে (Cartesian coordinates) নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়:

           

   \(\vec{\nabla} = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}\)

           

   একটি স্কেলার ক্ষেত্র \(\phi\) এর গ্রেডিয়েন্ট (gradient) হলো:

           

   \(\vec{\nabla} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \hat{k}\)

           

   এখন, \(\vec{\nabla} \phi\) এর কার্ল (curl) নির্ণয় করলে পাই:

           

   \(\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \phi) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{vmatrix}\)

           

   আমরা সারি (row) অনুযায়ী এক্সপ্যানশন (expansion) করলে পাই:

           

   \(= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right) \right)\)

           

   যদি স্কেলার ক্ষেত্র \(\phi\) এর দ্বিতীয় ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি (second-order partial derivatives) অবিচ্ছিন্ন (continuous) হয়, তাহলে স্কোয়ার্জের উপপাদ্য (Schwarz's Theorem) বা ক্লেয়ারোর উপপাদ্য (Clairaut's Theorem) অনুযায়ী, মিশ্র আংশিক ডেরিভেটিভগুলি সমান হয়:

           
               
   • \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y}\)
               
   • \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x}\)
               
   • \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x}\)
           
           

   অতএব, উপাদানের ভেতরের প্রতিটি বিয়োগফল শূন্য হয়ে যায়:

           

   \(= \hat{i} (0) - \hat{j} (0) + \hat{k} (0) = \vec{0}\)

           

   সুতরাং, \(\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \phi) = \vec{0}\)। অপশন ১ এই অভেদের একটি সঠিক (যদিও কিছুটা অনানুষ্ঠানিক) উপস্থাপন, যেখানে শূন্যটিকে ভেক্টর শূন্য (\(\vec{0}\)) হিসেবে ধরে নেওয়া হয়েছে।

       
    
2.         

   অপশন ২: \(\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = ০\)

           

   এই অভিব্যক্তিটি ল্যাপলাসীয়ান অপারেটরকে (Laplacian operator) বোঝায়, যা \(\nabla^2\) দ্বারা চিহ্নিত। অর্থাৎ, \(\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \nabla^2\)। ল্যাপলাসীয়ান অপারেটরটি হলো:

           

   \(\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\)

           

   এই অপারেটরটি নিজে শূন্য নয়। যেমন, যদি আমরা \(\phi(x) = x^2\) একটি স্কেলার ফাংশন নিই, তাহলে \(\nabla^2 (x^2) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} (x^2) = 2 \neq 0\)। শুধুমাত্র যখন একটি ফাংশন \(\phi\) ল্যাপলাসের সমীকরণ (\(\nabla^2 \phi = 0\)) মেনে চলে, তখন তাকে হারমোনিক ফাংশন (harmonic function) বলা হয়। অতএব, \(\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = 0\) বিবৃতিটি একটি সাধারণ অভেদ হিসাবে ভুল।

       
    
3.         

   অপশন ৩ এবং ৪:

           

   এই অপশনগুলি MathML ফরম্যাটিং-এ ত্রুটিপূর্ণ এবং গাণিতিকভাবে অর্থহীন। এগুলি কোনো সুনির্দিষ্ট গাণিতিক অভেদ বা ধারণাকে সঠিকভাবে প্রকাশ করে না।

       

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ অনুযায়ী, যদিও অপশন ১-এ স্কেলার ক্ষেত্র \(\phi\) এর উল্লেখ নেই এবং শূন্যটিকে স্কেলার ০ হিসেবে দেখানো হয়েছে, এটি প্রদত্ত অপশনগুলির মধ্যে একমাত্র গাণিতিকভাবে সঠিক এবং সুপরিচিত ভেক্টর অভেদকে প্রতীকীভাবে উপস্থাপন করে।